Ein kleiner Beweis zur Differentialrechnung

Satz. Sei $f : R \to R$ eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften:

Dann ist die Funktion $g : R^{+} \to R$ gegeben durch

$\begin{aligned} x \mapsto \frac{f (x)}{x} \end{aligned}$

monoton steigend.

Beweis. Wir können hier den Mittelwertsatz anwenden. Sei $x$ beliebig. Dann gibt es $c \in (0, x)$ mit

$\begin{aligned} f^{'} (c) & = \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} & = \frac{f (x)}{x} \end{aligned}$

Da $f^{'}$ monoton steigt, und $c$ kleiner als $x$ ist, erhalten wir

$\begin{aligned} f^{'} (x) \cdot x \geq f (x) . \end{aligned}$

Wenden wir dieses Wissen auf die Ableitung von $g$ an, erhalten wir

$\begin{aligned} g^{'} (x) = \frac{x \cdot f^{'} (x) - f (x)}{x^{2}} \geq 0. \end{aligned}$

Da $x$ beliebig gewählt war, ist damit $g^{'}$ immer größer gleich $0$ , also ist $g$ monoton steigend.