Was ist das hier?

Diese Beweise sind absichtlich nicht ganz so gut, wie sie sein könnten. Ihr könnt sie auf Hypothes.is kommentieren.

Beweis Nr. 1

Satz \(\sqrt{2}\) ist irrational.

Beweis (Widerspruch) Sei \(\frac{p}{q} = \sqrt{2}\) mit \(p, q \in \mathbb{N}\) ein gekürzter Bruch. Quadrieren wir beide Seiten, so erhalten wir

\[2 = \frac{p^2}{q^2},\]

also

\[2q^2 = p^2.\]

Damit ist $p$ gerade. Also gibt es $2n = p$. Setzen wir ein:

\[ 2q^2 = (2n)^2. \]

Daraus folgt

\[q^2 = 2n.\]

Also ist \(q\) gerade. Damit sind \(p\) und \(p\) durch 2 teilbar. Damit ist der Bruch \(frac{p}{q}\)\ kürzbar und wir haben einer Widerspruch.

Beweis Nr. 2

Lemma Ist eine ganze Zahl $a > 1$ durch eine andere ganze Zahl $b > 1$ teilbar, dann ist $a + 1$ nicht durch $b$ teilbar.

Beweis \(b\) teilt \(a\) genau dann, wenn es eine ganze Zahl \(n\) gibt, sodass \(a - bn = 0\). Nehmen wir nun an, \(b\) teilt \(a\) und \(a+1\). Dann gilt \(a = bn_1\). Also gibt es \(n_2\), sodass \(bn_1 + 1 - bn_2 = 0\). Also \(n_1 - n_2 = \frac{1}{b}\). Damit können \(n_1\) und \(n_2\) nicht beide ganze Zahlen sein. Wir haben den benötigten Widerspruch.

Satz Die Menge der Primzahlen \(\mathcal{P}\) ist unendlich.

Beweis

Nehmen wir an, \(\mathcal{P}\) sei endlich. Dann ist das Produkt \(p = \prod \mathcal{P}\) definiert. Dann ist \(p+1\) nicht in \(\mathcal{P}\), da \(p\) größer als das Maximum von \(\mathcal{P}\) ist, da dieses Maximum und die \(2\) Faktoren von \(p\) sind.

Alle Primzahlen teilen \(p\), da sie die Faktoren von \(p\) sind. Damit teilt keine Primzahl \(p+1\) und damit ist \(p+1\) eine Primzahl. Das ist ein Widerspruch. Also kann die Menge der Primzahlen nicht endlich sein.