Nicht ganz so gute Beweise

Was ist das hier?

Diese Beweise sind absichtlich nicht ganz so gut, wie sie sein könnten. Ihr könnt sie auf Hypothes.is kommentieren.

Beweis Nr. 1

Satz $\sqrt{2}$ ist irrational.

Beweis (Widerspruch) Sei $\frac{p}{q}=\sqrt{2}$ mit $p,q\in N$ ein gekürzter Bruch. Quadrieren wir beide Seiten, so erhalten wir

$$2=\frac{p^2}{q^2},$$

also

$$2q^2=p^2.$$

Damit ist $p$ gerade. Also gibt es $2n=p$. Setzen wir ein:

$$2q^2=(2n{)}^2.$$

Daraus folgt

$$q^2=2n.$$

Also ist $q$ gerade. Damit sind $p$ und $p$ durch 2 teilbar. Damit ist der Bruch $fracpq$\ kürzbar und wir haben einer Widerspruch.

Beweis Nr. 2

Lemma Ist eine ganze Zahl $a>1$ durch eine andere ganze Zahl $b>1$ teilbar, dann ist $a+1$ nicht durch $b$ teilbar.

Beweis $b$ teilt $a$ genau dann, wenn es eine ganze Zahl $n$ gibt, sodass $a-bn=0$. Nehmen wir nun an, $b$ teilt $a$ und $a+1$. Dann gilt $a=b{n}_1$. Also gibt es $n_2$, sodass $b{n}_1+1-b{n}_2=0$. Also $n_1-n_2=\frac{1}{b}$. Damit können $n_1$ und $n_2$ nicht beide ganze Zahlen sein. Wir haben den benötigten Widerspruch.

Satz Die Menge der Primzahlen $P$ ist unendlich.

Beweis

Nehmen wir an, $P$ sei endlich. Dann ist das Produkt $p=\prod P$ definiert. Dann ist $p+1$ nicht in $P$, da $p$ größer als das Maximum von $P$ ist, da dieses Maximum und die $2$ Faktoren von $p$ sind.

Alle Primzahlen teilen $p$, da sie die Faktoren von $p$ sind. Damit teilt keine Primzahl $p+1$ und damit ist $p+1$ eine Primzahl. Das ist ein Widerspruch. Also kann die Menge der Primzahlen nicht endlich sein.