Satz. Sei $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ eine Funktion mit den folgenden Eigenschaften:

  1. $f$ ist stetig für $x \ge 0$,

  2. $f'(x)$ ist für alle $x > 0$ definiert,

  3. $f(0)=0$ und

  4. $f'$ ist monoton steigend.

Dann ist die Funktion $g: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ gegeben durch

\begin{align*} x \mapsto \frac{f(x)}{x} \end{align*}

monoton steigend.

Beweis. Wir können hier den Mittelwertsatz anwenden. Sei $x$ beliebig. Dann gibt es $c \in (0, x)$ mit

\begin{align*} f'(c) &= \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}
&= \frac{f(x)}{x} \end{align*}

Da $f'$ monoton steigt, und $c$ kleiner als $x$ ist, erhalten wir

\begin{align} f'(x) \cdot x \ge f(x). \end{align}

Wenden wir dieses Wissen auf die Ableitung von $g$ an, erhalten wir

\begin{align} g'(x) = \frac{x \cdot f'(x) - f(x) }{x^2} \ge 0. \end{align}

Da $x$ beliebig gewählt war, ist damit $g'$ immer größer gleich $0$, also ist $g$ monoton steigend.